Categories
Googlaus

Google ja ihanat neitsyet

Neitsythäkki

No niin. Taas olisi luvassa juttua niille, jotka jaksavat näin typerille vitseille nauraa. Eli hakukenttään naputellaan neitsythäkki ja kappas vaan mitä tapahtuu.

Kiitos ja anteeksi.

Categories
Henk.koht.

Matematiikka – tiedettä vai taidetta?

Matematiikka ei ensisilmäykseltä vaikuta kovin luovalta alalta: siinä on tiukkoja sääntöjä ja sitä käytetään pääasiassa työkaluna muiden ongelmien ratkaisemisessa. Näin ajattelee maallikko. Mutta mitä mieltä on ammattilainen? Merkittävä puhtaan matematiikan kehittäjä G.H. Hardy esittää 1940 ilmestyneessä kirjassaan Matemaatikon apologia mielenkiintoisen ja ajatuksia herättävän näkemyksen matematiikan olemuksesta ja merkityksestä.

Matematiikan arvo

Apologia tarkoittaa puolustuspuhetta. Hardy puolustaa puhdasta matematiikkaa. Arvon pitää syntyä kauneudesta, ei hyödyllisyydestä. Hardy jakaa matematiikan kahteen alaan: on puhdas matematiikka, joka kehittää matematiikkaa sen itsensä vuoksi; ja on sovellettu matematiikka, joka kehittää matematiikkaa työkaluksi insinööreille, taloustieteilijöille, sotateollisuudelle ja muille fysikaalisessa ja muuttuvassa maailmassa eläville.

”En ole milloinkaan tehnyt mitään ’hyödyllistä’. Yksikään keksintöni ei ole vaikuttanut…vähäisimmässäkään määrin maailman mukavuuteen”, toteaa Hardy omasta urastaan. Hänelle vain ”todellisten matemaatikoiden todellinen matematiikka” on jonkin arvoista. Hänen näkökulmastaan katsottuna ne, jotka käyttävät matematiikkaa välineenä, eivät ole ymmärtäneet, mistä on kysymys.

Hardyn mukaan matematiikka saa oikeutuksensa taiteena. Se on luovaa työtä, jonka parhaat osat virkistävät henkisesti tuhansia ihmisiä tuhansien vuosien aikana. Se tuottaa muuttumattomia totuuksia: muodit vaihtuvat, kielet kuolevat ja aatteet kehittyvät, mutta matemaattinen totuus säilyy. Matemaattinen maine on ikuista.

Luovan ihmisen motivaatiosta

Hardy kysyy itseltään, miksi hän on toiminut matemaatikkona. Vastaus on selvä: koska olen siinä hyvä. Hänen mukaansa huippusuoritus millä tahansa inhimillisen osaamisen alalla lisää muiden uskoa ihmiskunnan kyvykkyyteen. Jos vaihtoehdot ovat loistaminen vähemmän tärkeällä alalla ja keskinkertaisuus tärkeällä alalla, Hardy kehottaa valitsemaan ensimmäisen.

Hardy korostaa kolmea tekijää, jotka motivoivat luovia ihmisiä. Ne ovat kunnianhimo, uteliaisuus ja ammattiylpeys. Näiden toteuttaminen on hänen mukaansa helpointa matematiikassa. ”Jaloin kunnianhimo liittyy haluun jättää jälkeensä jotain pysyvästi arvokasta.” Ilman kunnianhimoa olisivat ihmiskunnan suurimmat saavutukset jääneet tekemättä. Uteliaisuuttakin matematiikka tyydyttää kokonaisvaltaisesti: sen tieto on varmaa, ja tiedolla ei ole lopullisia rajoja, joille olisi pakko pysähtyä. Myös ammattiylpeys, eli halu tehdä asia hyvin, löytää matematiikasta haastetta. Matemaattinen tieto laajenee jatkuvasti, ja uusien löytöjen tekemistä rajoittaa vain oma kyvykkyys.

Hardy kirjoitti kirjansa vanhana, menetettyään luovuutensa. Hänen mukaansa luova ihminen haluaa luoda eikä puhua luovuudesta. Hän toteaakin surullisena, että ”esittely, kritiikki ja arviointi on toisen luokan ajattelijoiden työtä.” Matematiikka on nuorten ala, ja nuoret ovat ottaneet käytännössä kaikki merkittävimmät matemaattiset edistysaskeleet. Luovuus laimenee ihmisen vanhentuessa. Katsellessaan vanhana uraansa Hardy toteaa, että ”jokainen alaansa puolustava huomaa puolustavansa itseään.” Hän pitää silti elämäänsä menestyksenä. ”Olen laajentanut tietoa ja auttanut muita laajentamaan sitä ja näillä asioilla on arvo.”

Matematiikan kauneus

Mikä matematiikassa on kaunista? Kauneuden määritteleminen on tunnetusti vaikeaa, sillä kauneus pikemminkin tunnetaan kuin käsitetään. Hardy ei yritä määritellä matemaattista kauneutta vaan tyytyy kuvailemaan sen piirteitä. Matemaattisen tosiseikan keksiminen antaa oivaltamisen iloa, vaikka uudelle tiedolle ei olisi mitään hyötykäyttöä.

Hardy vertaa matematiikkaa kuvataiteisiin. Niin taiteilija kuin matemaatikkokin luo kauniita hahmoja. Erona on, että matematiikan rakennusaineena ovat ideat, ja siksi sen luomukset ovat ikuisia. Muut taiteilijat voivat antaa rumalle aiheelle kauniin ulkokuoren, (ajattele vaikka Gallen-Kallelan maalausta Akka ja kissa). Matemaattisen luomuksen kauneus ja merkitys riippuvat sen sijaan vain sisällöstä. Matemaattisen teoreeman kauneus riippuu sen vakavuudesta.

Esimerkiksi matemaattisesta kauneudesta Hardy ottaa Pythagoraan todistuksen irrationaalilukujen olemassaolosta. Rationaaliluku on luku, joka voidaan esittää kahden kokonaisluvun avulla murtolukuna. Ne luvut, jotka eivät toteuta tätä ehtoa, ovat irrationaalisia. Tällainen luku on esimerkiksi luvun 2 neliöjuuri.

Terveisiä päätoimittajalta: vanha kustannusalan viisaus kertoo, että jokainen kirjassa oleva matemaattinen yhtälö puolittaa sen myynnin. Onneksi Feldon.netissä ei stressata lukijamäärien kaltaisista sivuseikoista. Seuraavaksi siis matemaattista kauneutta: irrationaalilukujen olemassaolon todistus. Kiitos ja anteeksi.

Oletetaan, että neliöjuuri 2 voidaan esittää muodossa A/B, jossa A ja B ovat kokonaislukuja. Oletetaan siis, että neliöjuuri 2 on rationaalinen. A:lla ja B:llä ei ole yhteisiä tekijöitä, sillä ne voidaan aina supistaa pois.

Tällöin luku 2 voidaan esittää muodossa (A/B)2, ja A2 = 2B2

A2 on parillinen, sillä 2B2 on jaollinen kahdella. Jos luvun neliö on parillinen, on myös luku parillinen.

Myös A on siis parillinen: A = 2C

Siis 2B2 = A2 = (2C)2 = 4C2

Eli B2 = 2C2

Myös B on parillinen. A:lla ja B:llä on yhteinen tekijä, vaikka sitä ei oletuksemme mukaan ole. Oletuksemme on siis väärä. Lukua neliöjuuri 2 ei voida esittää kahden kokonaisluvun avulla murtolukuna. Irrationaalilukuja on siis olemassa.

Matemaattisen todistuksen varmuudessa ja ehdottomuudessa on jotain, mikä vetoaa ihmisen luontaiseen harmonian tajuun. Hardy löytää kolme erillistä syytä matematiikan vetovoimalle. Ne ovat odottamattomuus, väistämättömyys ja taloudellisuus.

Matemaattiset tulokset ovat odottamattomia: äskeisessä todistuksessa paljastui jotain, mitä ei voinut ennakoida vain oletuksia katselemalla; tulokset ovat väistämättömiä: matemaattinen todistus on itsestään selvästi ikuisesti tosi; matematiikka on taloudellista: yksinkertaisten oletusten avulla päästään hämmästyttävän pitkälle.

Minkälainen on matemaattisesti merkittävä ajatus?

Puhtaan matemaatikon kannalta kaikki matemaattiset tosiasiat eivät ole samalla viivalla. Merkittävyyden mittana Hardy pitää ajatuksen yleisyyttä ja syvyyttä. Mitä useampaan matemaattiseen rakenteeseen ajatus liittyy, sitä yleisempi se on. Matematiikan varmuus perustuu juuri sen abstraktiin yleisyyteen. Matemaattiset temput ja poikkeukselliset yksittäistapaukset kiinnostavat vain maallikkoa.

Hardy antaa esimerkin: 8712 ja 9801 ovat ainoat nelinumeroiset kokonaisluvut, jotka saadaan kertomalla niiden ”takaperin” kirjoitettu muoto kokonaisluvulla. 4 * 2178 = 8712; 9 * 1089 = 9801. Tämänkaltaiset jipot ”voivat huvittaa amatöörejä, mutta niissä ei ole mitään matemaatikkoon vetoavaa.” Niissä ei ole mitään yleistettäviä ominaisuuksia, ja niinpä ne ovat matemaatikon kannalta täysin mielenkiinnottomia.

Hardy ajattelee matemaattisia ajatuksia kerroksina. Pinnalla olevat ideat ovat yksinkertaisia (vaikkapa kokonaisluvut ja yhteenlasku), syvemmällä on monimutkaisempia käsitteitä (irrationaaliluvut ja jakolasku). Idean syvyydestä puhuessaan Hardy tarkoittaa sitä, miten syvällä oleviin lukujen ominaisuuksiin ajatus liittyy. Hän tunnustaa syvyyden olevan epämääräinen käsite, ja jättää sen käsittelyn lyhyeksi.

Arkinen hyöty ja matematiikka

Hardy ei mittaa matematiikkaa hyödyllisyyden vaan kauneuden pohjalta. Hän muistuttaa silti, että ilman puhdasta matematiikkaa ei olisi insinöörejä eikä fyysikoita. Hardyn mukaan matemaatikon kosketus todellisuuteen on suorempi kuin fyysikolla. Sellaiset fyysikon mielenkiinnon kohteet kuin atomit ja elektronit eivät ole aistein havaittavia, kuin taas matemaatikon käsitteistä saa otteen arkijärjen avulla. Fyysikko ”yrittää koordinoida edessäänolevien karkeiden tosiasioiden sekavan joukon jonkinlaiseksi määrätyksi ja järjestäytyneeksi abstraktien suhteide skeemaksi, ja juuri tällaisen skeeman hän voi lainata vain matematiikasta.”

Hardy ei kiellä soveltavien tieteiden hyödyllisyyttä, mutta hän suhtautuu niihin vain välineinä. Hyvinvoinnin lisäämiseen ja ylläpitään tarvitaan tietty määrä teknisen alan spesialisteja, mutta tavallinen ihminen pärjää Hardyn mukaan ilman tieteellistä tietoa. Kaikkia hyödyllisen tekniikan aloja ei kuitenkaan voi hallita niin hyvin, että pärjäisi ilman ammattilaisten apua. Hardy korostaa motivaatioeroa matematiikan ja luonnontieteiden välillä. Toisesta haetaan henkistä virkistystä, toisesta hyötyä. Fysiikan merkittävyydellä ja kauneudella ei Hardyn mukaan ole samanlaista välitöntä yhteyttä kuin matematiikan ja kauneuden välillä.

Hardy muistuttaa myös sovelluksien haitoista. Hän ei mieti vain hyötyjä vaan myös haittoja. Kirja kirjoitettiin 1940, jolloin toinen maailmansota oli käynnissä. Fyysikon vastuulla ovat hänen keksintöjensä tuhoisat seuraukset. Puhtaalla matematiikalla ei sen sijaan ole käytännön sovelluksia, eikä se voi palvella sotaa.

Matemaatikon apologia on kirjoitettu toisen maailmansodan aikana. Sodan ja matematiikan suhteesta Hardy toteaa Vuoren viisaan äänenpainolla: ”Kun maailma on tullut hulluksi, matemaatikko voi löytää matematiikasta verrattoman rauhoittajan. Tämä johtuu siitä, että kaikista tieteistä ja taiteista matematiikka on yksinkertaisin ja kaukaisin.”